在数学分析中，不定积分是求解函数原函数的重要方法之一。今天我们来探讨如何求解函数 \( \arccos x \) 的不定积分。
首先，我们需要明确 \( \arccos x \) 是反三角函数的一种，其定义域为 \([-1, 1]\)，值域为 \([0, \pi]\)。求解 \( \int \arccos x \, dx \) 的过程需要运用到分部积分法。
分部积分法
分部积分公式为：
\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]
在这里，我们可以选择 \( u = \arccos x \) 和 \( dv = dx \)。那么，\( du \) 和 \( v \) 分别为：
\[
du = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx, \quad v = x
\]
将这些代入分部积分公式：
\[
\int \arccos x \, dx = x \arccos x - \int x \cdot \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx
\]
简化后得到：
\[
\int \arccos x \, dx = x \arccos x + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx
\]
第二个积分的处理
对于第二个积分 \( \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \)，我们可以使用换元法。令 \( t = 1-x^2 \)，则 \( dt = -2x \, dx \)，即 \( x \, dx = -\frac{1}{2} \, dt \)。代入后得到：
\[
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t}} \, dt = -\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{t} + C = -\sqrt{1-x^2} + C
\]
最终结果
将上述结果代入原式，我们得到：
\[
\int \arccos x \, dx = x \arccos x - \sqrt{1-x^2} + C
\]
因此，函数 \( \arccos x \) 的不定积分为：
\[
\boxed{x \arccos x - \sqrt{1-x^2} + C}
\]
通过以上步骤，我们成功求解了 \( \arccos x \) 的不定积分。这种方法不仅展示了分部积分和换元法的应用，还加深了对反三角函数性质的理解。希望这篇文章对你有所帮助！
