【绝对值不等式性质及公式】在数学中，绝对值不等式是解决与数值大小相关问题的重要工具。掌握其基本性质和常用公式，有助于快速判断和求解不等式问题。以下是对绝对值不等式性质及公式的总结，并通过表格形式进行清晰展示。

一、绝对值的基本概念

对于任意实数 $ a $，其绝对值定义为：

$$

\begin{cases}

a, & \text{当 } a \geq 0 \\

-a, & \text{当 } a < 0

\end{cases}

$$

绝对值表示数轴上点到原点的距离，因此始终为非负数。

二、绝对值不等式的性质

1. 非负性：

对于任何实数 $ a $，有 $ a \geq 0 $。

2. 对称性：

$ a = -a $

3. 三角不等式：

$ a + b \leq a + b $

这是绝对值不等式中最重要的一条性质。

4. 反向三角不等式：

$ a - b \leq a - b $

5. 乘法性质：

$ ab = ab $

6. 除法性质（当 $ b \neq 0 $）：

$ \left\frac{a}{b}\right = \frac{a}{b} $

7. 绝对值的平方：

$ a^2 = a^2 $

三、常见绝对值不等式公式

四、应用示例

- 例1：解不等式 $ 2x - 3 < 5 $

解：

$ -5 < 2x - 3 < 5 $

$ -2 < 2x < 8 $

$ -1 < x < 4 $

- 例2：解不等式 $ x + 1 \geq 3 $

解：

$ x + 1 \leq -3 $ 或 $ x + 1 \geq 3 $

$ x \leq -4 $ 或 $ x \geq 2 $

五、总结

绝对值不等式是代数中的重要内容，理解其基本性质和常见公式，能够帮助我们更高效地处理涉及范围、距离和误差的问题。在实际应用中，结合图形或数轴分析，可以进一步提升解题的准确性和直观性。

表：绝对值不等式核心

通过系统掌握这些知识，可以在学习和实践中更加灵活地运用绝对值不等式。