在数学分析中，研究多元函数时，二阶偏导数是一个重要的概念。它不仅帮助我们了解函数的变化趋势，还能用于判断函数的极值点以及曲面的凹凸性等。现在，我们将围绕一个具体的例子来探讨如何计算函数的二阶偏导数。

假设给定的函数为 \( z = f(x, y) = x \sqrt{x^2 + y^2} \)，其中 \( \sqrt{x^2 + y^2} \) 表示 \( x \) 和 \( y \) 的平方和的平方根。我们的目标是求出这个函数关于 \( x \) 和 \( y \) 的二阶偏导数。

首先，我们需要找到一阶偏导数。对于 \( x \)-方向的一阶偏导数，可以使用乘积法则和链式法则进行计算：

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \sqrt{x^2 + y^2} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot 2x \]

简化后得到：

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \sqrt{x^2 + y^2} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + y^2}} \]

接下来，对上述结果再次对 \( x \) 求偏导数以获得二阶偏导数：

\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} + \left( \frac{2x \sqrt{x^2 + y^2} - \frac{x^3}{\sqrt{x^2 + y^2}}}{x^2 + y^2} \right) \]

同样地，对于 \( y \)-方向的一阶偏导数，我们有：

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = x \cdot \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \]

然后对其求二阶偏导数：

\[ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = x \left( \frac{\sqrt{x^2 + y^2} - \frac{xy^2}{\sqrt{x^2 + y^2}}}{x^2 + y^2} \right) \]

通过这些步骤，我们可以全面理解并计算出给定函数的二阶偏导数。这样的练习有助于加深对多元函数性质的理解，并为进一步的研究奠定基础。