【极限的常用公】在高等数学中，极限是微积分的基础，掌握一些常见的极限公式对于理解导数、积分以及函数的连续性等概念至关重要。以下是一些在计算过程中经常用到的极限公式，便于快速查阅和应用。
一、基本极限公式
| 公式 | 说明 |
| $\lim_{x \to a} c = c$ | 常数的极限等于常数本身 |
| $\lim_{x \to a} x = a$ | 自变量趋于某点时，其极限为该点值 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 重要的三角函数极限 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ | 与余弦相关的极限 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ | 指数函数的基本极限 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ | 对数函数的极限 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^k - 1}{x} = k$ | 幂函数的极限形式（k为常数） |
二、无穷小量与无穷大量比较
| 极限表达式 | 结果 | 说明 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 1 | 无穷小量的等价替换 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$ | 0 | 无穷小量的高阶无穷小 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ | 1 | 指数函数的线性近似 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ | 1 | 对数函数的线性近似 |
| $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ | e | 数学中的重要常数 |
三、常见函数的极限性质
| 函数类型 | 极限形式 | 说明 |
| 多项式函数 | $\lim_{x \to a} P(x) = P(a)$ | 连续函数的极限即为其函数值 |
| 分式函数 | $\lim_{x \to a} \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(a)}{Q(a)}$（若 $Q(a) \neq 0$） | 分母不为零时可直接代入 |
| 有理函数 | $\lim_{x \to \infty} \frac{a_n x^n + \cdots}{b_m x^m + \cdots} = \begin{cases} 0 & n < m \\ \frac{a_n}{b_m} & n = m \\ \infty & n > m \end{cases}$ | 通过最高次项比较极限趋势 |
四、洛必达法则适用情况
当遇到 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型不定式时，可以使用洛必达法则：
$$
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
$$
前提是右侧极限存在或为无穷。
五、总结
极限的常用公式是学习微积分的基础工具，熟练掌握这些公式有助于提高解题效率和理解能力。在实际应用中，结合洛必达法则、泰勒展开、等价无穷小替换等方法，可以更灵活地处理各种极限问题。
建议在学习过程中多做练习，逐步熟悉不同类型的极限问题，并注意公式的适用条件，避免误用。
