【等比数列计算公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值保持不变。这个固定的比值称为“公比”。等比数列广泛应用于数学、物理、经济等多个领域，掌握其基本公式对于理解和应用该数列至关重要。
以下是等比数列的核心计算公式总结：
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 | ||
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | $ a_1 $ 为首项，$ r $ 为公比，$ n $ 为项数 | ||
| 前n项和公式 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $ | 当 $ r \neq 1 $ 时适用 | ||
| 当 $ r = 1 $ 时 | $ S_n = a_1 \cdot n $ | 所有项都相等，直接乘以项数 | ||
| 无穷等比数列和 | $ S = \frac{a_1}{1 - r} $ | 当 $ | r | < 1 $ 时，无限项和收敛 |
总结说明：
1. 第n项公式用于求等比数列中任意一项的值。例如，若首项为2，公比为3，则第5项为 $ 2 \cdot 3^{4} = 162 $。
2. 前n项和公式适用于有限项的等比数列求和。当公比不等于1时使用此公式，否则直接用 $ a_1 \cdot n $ 计算。
3. 无穷等比数列和仅在公比绝对值小于1时成立，此时数列趋于一个有限值。例如，首项为1，公比为0.5时，总和为 $ \frac{1}{1 - 0.5} = 2 $。
通过以上公式，可以快速计算等比数列的各项和、特定项以及无限项的和。在实际应用中，合理选择公式是解决问题的关键。
