【叉乘怎么算】叉乘，也叫向量积或外积，在数学和物理中应用广泛，尤其在三维空间中用于计算两个向量的垂直方向。本文将总结叉乘的基本概念、计算方法，并通过表格形式清晰展示。
一、什么是叉乘？
叉乘是两个向量之间的一种运算，结果是一个新的向量，该向量与原来的两个向量都垂直。叉乘的结果方向由右手定则决定，大小等于两个向量模长的乘积乘以它们夹角的正弦值。
二、叉乘的计算公式
设向量 a = (a₁, a₂, a₃)，向量 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的叉乘为：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
也可以写成：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)
$$
三、叉乘的性质
| 性质 | 描述 |
| 反交换性 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$ |
| 分配律 | $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$ |
| 与标量相乘 | $k(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = (k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = \mathbf{a} \times (k\mathbf{b})$ |
| 零向量 | 如果 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 共线，则 $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0}$ |
四、叉乘的应用
- 计算面积：两个向量构成的平行四边形面积为 $
- 求法向量：平面的法向量可以通过两个不共线向量的叉乘得到
- 物理应用：如力矩、磁感应强度等
五、示例计算
假设向量 a = (1, 2, 3)，向量 b = (4, 5, 6)，则：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
(2×6 - 3×5,\ 3×4 - 1×6,\ 1×5 - 2×4) = (12 - 15,\ 12 - 6,\ 5 - 8) = (-3,\ 6,\ -3)
$$
六、总结
叉乘是一种重要的向量运算，常用于几何和物理问题中。其计算方式可以通过行列式展开或直接使用公式完成。掌握叉乘的计算方法和性质，有助于理解三维空间中的向量关系和实际应用。
| 项目 | 内容 | ||||
| 运算类型 | 向量积（外积） | ||||
| 结果类型 | 向量 | ||||
| 方向 | 垂直于原两向量，由右手定则确定 | ||||
| 大小 | $ | \mathbf{a} | \mathbf{b} | \sin\theta$ | |
| 计算方式 | 行列式展开或分量计算 |
如需进一步了解叉乘的几何意义或具体应用，可参考相关教材或在线资源。
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