【谁的导函数是xlnx】在微积分的学习中，常常会遇到“已知一个函数的导数，求原函数”的问题。今天我们要解决的问题是：谁的导函数是 xlnx？ 也就是说，我们需要找到一个函数 F(x)，使得它的导数 F’(x) = x ln x。
一、问题分析
我们要求的是满足以下条件的函数 F(x)：
$$
F'(x) = x \ln x
$$
这属于不定积分问题，即：
$$
F(x) = \int x \ln x \, dx
$$
为了求解这个积分，我们可以使用分部积分法（Integration by Parts）。
二、分部积分法应用
分部积分公式为：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
令：
- $ u = \ln x $，则 $ du = \frac{1}{x} dx $
- $ dv = x \, dx $，则 $ v = \frac{x^2}{2} $
代入公式得：
$$
\int x \ln x \, dx = \ln x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx
$$
化简第二个积分：
$$
= \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x}{2} \, dx
$$
$$
= \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C
$$
$$
= \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C
$$
三、结果总结
因此，导函数为 x ln x 的原函数为：
$$
F(x) = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C
$$
其中 C 是任意常数。
四、表格展示
| 原函数 F(x) | 导数 F’(x) |
| $ \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C $ | $ x \ln x $ |
五、小结
通过分部积分法，我们找到了导数为 $ x \ln x $ 的原函数。这个过程展示了如何从导数反推原函数，是微积分中常见的操作之一。掌握这一技巧有助于更深入理解积分与导数之间的关系。
如果你还在学习微积分，建议多练习类似的题目，以增强对积分方法的理解和应用能力。
