【数学穿线法】“数学穿线法”是一种用于解不等式、尤其是高次不等式和分式不等式的常用方法。它通过将不等式转化为多项式的符号变化，利用数轴上的“穿线”方式来判断解的范围。该方法直观、高效，尤其在处理三次、四次及以上多项式不等式时非常实用。
一、数学穿线法的基本原理
数学穿线法的核心思想是：
将不等式中的多项式分解为一次因式的乘积形式，并在数轴上标出各个根的位置，然后根据因式的奇偶次幂决定穿线的方向，从而确定不等式的解集。
二、使用步骤总结
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 将不等式化为标准形式，如 $ f(x) > 0 $ 或 $ f(x) < 0 $ |
| 2 | 分解 $ f(x) $ 为若干个一次因式的乘积，即 $ f(x) = (x - a_1)(x - a_2)...(x - a_n) $ |
| 3 | 找出所有实数根 $ a_1, a_2, ..., a_n $，并按从小到大的顺序排列 |
| 4 | 在数轴上标出这些根的位置，形成若干区间 |
| 5 | 从右向左（或从左向右）“穿线”，根据因式的次数（奇数次或偶数次）决定是否改变方向 |
| 6 | 根据不等式的符号要求，确定最终的解集 |
三、穿线规则说明
| 因式次数 | 穿线方向变化 | 说明 |
| 奇数次 | 改变方向 | 穿过根点，符号翻转 |
| 偶数次 | 不改变方向 | 仅接触根点，符号不变 |
四、示例解析
例题：解不等式 $ (x - 1)(x + 2)^2(x - 3) > 0 $
1. 分解因式：已分解为 $ (x - 1)(x + 2)^2(x - 3) $
2. 找根：$ x = -2 $（重根）、$ x = 1 $、$ x = 3 $
3. 排序：-2, 1, 3
4. 画数轴：在数轴上标出 -2、1、3 三点
5. 穿线：
- 从右往左（x > 3 区间），取一个值代入，如 x=4，结果为正
- 经过 x=3，因式 (x-3) 是奇数次，方向翻转 → 负
- 经过 x=1，因式 (x-1) 是奇数次，方向翻转 → 正
- 经过 x=-2，因式 (x+2)^2 是偶数次，方向不变 → 正
6. 解集：满足 >0 的区间为 $ (-\infty, -2) \cup (1, 3) $
五、注意事项
- 穿线时应从最右边开始，通常选择一个大于所有根的值代入判断初始符号。
- 对于分式不等式，需注意分母不能为零。
- 若有重复根（即偶数次因式），需特别注意其对符号的影响。
六、总结表格
| 项目 | 内容 |
| 方法名称 | 数学穿线法 |
| 适用对象 | 高次不等式、分式不等式 |
| 原理 | 利用多项式因式分解和数轴符号变化判断解集 |
| 关键步骤 | 分解因式、找根、穿线、判断符号 |
| 规则 | 奇数次因式改变方向，偶数次因式保持方向 |
| 应用场景 | 解不等式、分析函数符号变化 |
通过掌握“数学穿线法”，可以更高效地解决复杂的不等式问题，提升解题速度与准确性。
