在数学中，函数是描述变量之间关系的重要工具。而函数的定义域和值域则是研究函数性质的基础。定义域是指函数可以接受的所有输入值（即自变量）的集合，而值域则是指函数所能产生的所有输出值（即因变量）的集合。理解如何正确求解定义域和值域对于解决实际问题至关重要。本文将对不同类型的函数逐一分析其定义域与值域的求法。

一、代数函数

1. 多项式函数

多项式函数如 \( f(x) = ax^n + bx^{n-1} + \cdots + k \)，其中 \(a, b, \dots, k\) 为常数，\(n\) 为非负整数。由于多项式函数在整个实数范围内都有意义，因此其定义域为全体实数 \( (-\infty, +\infty) \)。值域则取决于多项式的次数和系数，通常也是全体实数，但某些特殊情况可能会有所不同。

2. 分式函数

分式函数如 \( f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} \)，其中 \(p(x)\) 和 \(q(x)\) 是多项式。为了保证分母不为零，我们需要排除使 \(q(x) = 0\) 的所有 \(x\) 值。因此，定义域为满足 \(q(x) \neq 0\) 的所有 \(x\)。值域的确定较为复杂，需要结合具体函数形式进行分析。

二、指数与对数函数

1. 指数函数

指数函数如 \( f(x) = a^x \) （其中 \(a > 0\) 且 \(a \neq 1\)）。指数函数的定义域为全体实数 \( (-\infty, +\infty) \)，而值域为正实数 \( (0, +\infty) \)，因为指数函数的输出总是正值。

2. 对数函数

对数函数如 \( f(x) = \log_a(x) \) （其中 \(a > 0\) 且 \(a \neq 1\)）。对数函数的定义域为正实数 \( (0, +\infty) \)，因为对数函数只对正数有意义。值域为全体实数 \( (-\infty, +\infty) \)。

三、三角函数

1. 正弦与余弦函数

正弦函数 \( f(x) = \sin(x) \) 和余弦函数 \( f(x) = \cos(x) \) 的定义域均为全体实数 \( (-\infty, +\infty) \)，而值域为 \([-1, 1]\)，因为它们的振幅限制在这一区间内。

2. 正切函数

正切函数 \( f(x) = \tan(x) \) 的定义域为所有不等于 \( \frac{\pi}{2} + n\pi \) （其中 \(n\) 为整数）的实数，因为正切函数在这些点上无定义。值域为全体实数 \( (-\infty, +\infty) \)。

四、复合函数

对于复合函数 \( f(g(x)) \)，首先需要确定内层函数 \(g(x)\) 的定义域，然后将其结果作为外层函数 \(f(x)\) 的输入范围。最终的定义域是两者的交集。值域的确定则需要结合内外层函数的具体形式。

通过以上分析可以看出，求解函数的定义域和值域需要根据函数的具体类型采取不同的策略。掌握这些基本方法不仅有助于理论学习，还能在实际应用中提供有力支持。希望本文能帮助读者更好地理解和应用函数的相关知识。